عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي

آموزش مفاهیم ریاضیات

ریاضی نیک

باورکردنی نیست اما در سال 1202 لئونارد فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند که بعدها بعنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید. آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، بسادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید :

البته برخی از ریاضی دانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, …

1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179و …

بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلایی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد 1.618033988749895 می رسیم که با تقریب 14 رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :

که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

معمای زاد و ولد خرگوش!

در واقع فیبوناچی در سال 1202 به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما” باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما” باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)

به شکل زیر نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.

سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزک و علوم طبیعی کاربردهای بسیار دیگری دارد، ارتباط زیبای فاصله های خوش صدا در موسیقی، چگونگی تولد یک کهکشان و … که کاربرد این سری جادویی را بیش از پیش نشان می دهد.

استاد میرعماد با پالایش خطوط پیشینیان و زدودن اضافات و ناخالصی‌ها از پیکره نستعلیق و نزدیک کردن شگرف نسبت‌های اجزای حروف و کلمات، به اعلا درجه زیبایی یعنی نسبت طلایی رسید و قدمی اساسی در اعتلای هنر نستعلیق برداشت. با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات میرعماد متوجه می‌‌شویم که این نسبت به عنوان یک الگو در تار و پود حروف و واژه‌ها وجود دارد و زاویه ۴۴۸/۶۳ درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم، حضوری تعیین کننده دارد. این مهم قطعاً در سایه شعور و حس زیبایی‌شناسی وی حاصل آمده، نه آگاهی از فرمول تقسیم طلایی از دیدگاه هندسی و علوم ریاضی. میرعماد این نسبت‌ها را نه تنها در اجزای حروف بلکه در فاصله دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت می‌‌کرده است.

به اشکال شبیه چشم روی بدن پروانه که علامت گذاری شده است،توجه کنید.نسبت فواصل طولی و عرضی این علائم یک نسبت طلائی است.

پوسته مارپیچی یک حلزون نمونه ای ساده ودرعین حال زیبا، از نسبت طلائی است.

نسبت طلایی در ساقه گیاهان

ترکیب بندی تصویر، در کتابها و مجلات تخصصی عکاسی، اغلب به شکل یک نسخه تجویزی ارائه میشود. انگار که پیروی از تعدادی قاعده میتواند نتیجه قانع کننده ای را تضمین کند. شاید بهتر باشد این قواعد را تنها به عنوان چکیده ایده هایی در نظر گرفت که عکاسان (و البته نقاشان و سایر هنرمندان قرنها پیش از اختراع دوربین) آنها را برای خلق یک تصویر تاثیر گذار، مفید یافته اند.
هر ترکیب بندی عکسی را میتوان کارآمد دانست به شرط این که عناصر صحنه به طور موثر با بینندگان مورد نظر آن عکس، ارتباط برقرار کند. در اغلب موارد، نکته اساسی در شناسایی عناصر کلیدی صحنه نهفته است تا با تنظیم محل دوربین و عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي میزان نور دهی، آنها را از دل سایر اطلاعات تصویری متفرقه، بیرون بکشید. همین اشیاء مزاحم، بسیاری از عکسها را خراب میکنند. اگر عکاسی را تازه شروع کرده اید، بهتر است به جای تمرکز زیاد روی جزییات خیلی خاص، تنها روی ساختار کلی صحنه تمرکز کنید. چرا که تاثیر آنها در مقابل ترکیب بندی عمومی عکس، بسیار سطحی است.

در این مقاله به معرفی سه روش کاربردی در امر ترکیب بندی تصویر پرداخته خواهد شد. در آغاز به معرفی کلی تکنیکی میپردازیم که قرنهاست شناخته شده است یعنی قانون تعادل (یا قانون طلایی - Golden Mean). این قانون در عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي واقع یک فرمول هندسی است که توسط یونانی های باستان ابدا شده.استدلال بر این است که ترکیب بندی ای که بر اساس این تئوری تشکیل شده باشد، تاثیرگذار و قوی مینماید. ایده اصلی که در پس این تئوری است در واقع استفاده از خطوط هندسی است که به سادگی توسط چشم بیننده دنبال شوند. طی قرون متمادی، قانون تعادل (یا قانون طلایی - Golden Mean) راهبردی مهم و ابزاری کارآمد برای هنرمندان و نقاشان به حساب می آمد. امروزه با توجه به ارزش این ابزار، آشنایی با آن به عکاسان نیز توصیه میشود.

برای تعیین برخی از اندازه ها به نسبتهای شکیل و زیبا، معروفترین فرمول، شیوه ای است که یونانیان باستان ابداع کرده اند و به ” نسبت طلایی” معروف است . نسبت طلایی در اصل، فرمولی ریاضی و دارای زیبایی بصری است. در این روش : ابتدا مربع را با خطی عمود بر دو ضلع مربع به دو مستطیل مساوی تقسیم می کنند، سپس محل تقاطع آن خط با یکی از اضلاع مربع ( نقطه X) را مرکز دایره ای به شعاع قطر مستطیل قرار می دهند ( فاصله X تا Y) و با ترسیم این دایره و تعیین محل تقاطع آن با امتداد ضلع مربع ( نقطه Z) طول مستطیلی معروف به “مستطیل طلایی” به دست می آید که عرض آن برابر ضلع مربع و است و نسبت این طول و عرض ثابت و دارای زیبایی خاصی است (نسبت اندازه پاره خط C به A با نسبت اندازه A به B یکی است) یونانیان در ساخت بسیاری از اشیا و ابینه و معابد و کوره ها و … آن را به کار می بستند .

برای تعیین برخی از اندازه ها به نسبتهای شکیل و زیبا، معروفترین فرمول، شیوه ای است که یونانیان باستان ابداع کرده اند و به ” نسبت طلایی” معروف است . نسبت طلایی در اصل، فرمولی ریاضی و دارای زیبایی بصری است. در این روش : ابتدا مربع را با خطی عمود بر دو ضلع مربع به دو مستطیل مساوی تقسیم می کنند، سپس محل تقاطع آن خط با یکی از اضلاع مربع ( نقطه X) را مرکز دایره ای به شعاع قطر مستطیل قرار می دهند ( فاصله X تا Y) و با ترسیم این دایره و تعیین محل تقاطع آن با امتداد ضلع مربع ( نقطه Z) طول مستطیلی معروف به “مستطیل طلایی” به دست می آید که عرض آن برابر ضلع مربع و است و نسبت این طول و عرض ثابت و دارای زیبایی خاصی است (نسبت اندازه پاره خط C به A با نسبت اندازه A به B یکی است) یونانیان در ساخت بسیاری از اشیا و ابینه و معابد و کوره ها و … آن را به کار می بستند .

قانون یک سوم کادر نیز در واقع همان مفهوم طلایی است. 4 خط تقسیم کننده یک کادر، خطوط طلایی و محل برخورد این خطوط، نقاط طلایی نامیده میشوند.

یکی از ابزارهای ترکیب بندی عکس برای هدایت چشم بیننده به نقطه مورد نظر عکاس، مارپیچ طلایی است. استفاده از این تکنیک در سوژه هایی که با نقاط طلایی سازگار نبوده اند قابل استفاده است. نحوه رسم مارپیچ طلایی نیز به این صورت است.

دانشمندان گذشته نیز از نسبت طلایی استفاده های زیادی کرده اند. به عنوان مثال لئوناردو داوینچی در ترسیم نقاشی معروف خود از بدن انسان از نسبت طلایی بهره گرفته است.

در بدن انسان مثالهای بسیار فراوانی از این نسبت طلایی وجود دارد. در شکل زیر نسبت M/m یک نسبت طلایی است که در جای جای بدن انسان می توان آنرا دید. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:

نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا

نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج

نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر

نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر

نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

اینها تنها چند مثال از وجود نسبت طلایی در بدن انسان بود که بدن انسان را در حد کمال زیبایی خود نشان می دهد.

در تصاویر زیر نسبت خط سفید به آبی، آبی به زرد، زرد به سبز و سبز به بنفش یک نسبت طلایی است!!

من معلم ریاضی دبیرستان هستم خیلی علاقه بتدریس ریاضی و نوشتن مطالب ریاضی دارم .دوست
دارم با دیگر علاقه مندان ریاضی تبادل تجربه کنم به امید موفقیت شما. برای ارتباط باما به پایین همین صفحه بروید گذاشتن پیوندها نشانه تایید مدیر وبلاگ نیست.جهت دسترسی اسان بازدید کنندگان است.

آموزش مفاهیم ریاضیات

فکر می کنید به چند طریق می‌توانید از یک پلکان که دارای n پله است، بالا عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي بروید، در صورتی که در هر گام فقط بتوانید یک یا دو پله را طی کنید؟ برای یافتن پاسخ این مسأله، ابتدا یک حالت ساده را در نظر می‌گیریم. فرض کنید که پلکان چهار پله دارد. شما می‌توانید با چهار گام کوچک ( یک پله ای ) مسیر را طی کنید و یا این که دو گام بزرگ ( دو پله ای ) یا یک گام بلند و دو گام کوچک بردارید. کلیه ی حالت های ممکن در شکل زیر نمایش داده شده است. پله هایی که با علامت مشخص شده اند، پله هایی هستند که روی آن قدم گذاشته اید.

در واقع این مسأله را با یک استراتژی بسیار ساده می‌توان حل کرد. کافی است مسأله را کمی کوچک یاساده کنیم. آخرین گام یک گام کوچک یا یک گام بزرگ است. در واقع تعداد راه هایی که می‌توان پلکان را طوری طی کرد که به پله ماقبل آخر رسید، حل مسأله برای یک پله کم تر ( n-1 پله ) است و تعداد راه هایی که می‌توان از آن به دو پله پایین تر رسید، حل مسأله برای دو پله کم تر ( n-2 پله ) خواهد بود. در مثال بالا سه مسیر مختلف وجود دارد که به پله ی سوم می‌رسد و دو مسیر وجود دارد که به پله ی دوم منتهی می‌شود. حال باید مسأله را برای این دو حالت کوچک تر حل کنیم. ما دوباره هر یک از این دو حالت را به حالات کوچک تر مشابه تقسیم می‌کنیم. این روش را " حل بازگشتی " می‌نامند. در واقع ما هر بار مسأله را به مسأله ای شبیه خودش - اما کوچک تر از آن - تبدیل می‌کنیم. تعداد کل مسیرها برابر مجموع مسیرهایی که به پله ی ماقبل آخر رسیده و همین طور مسیرهایی که به دو پله قبل از پله ی آخر منتهی شده اند، می‌باشد. می‌توانید بگویید چرا؟

اگر همین طور مسأله را به مسأله های کوچک تر تقسیم کنیم، در پایان به جایی می‌رسیم که حل آن برای ما بسیار ساده است: به چند طریق می‌توان دو پله را طی کرد؟ و پس از حل آن، دوباره مسیری را که برای حل مسأله طی کرده ایم، باز می‌گردیم.

این مسأله را می‌توان با دنباله ی اعداد فیبوناچی نیز حل کرد. دنباله ی فیبوناچی یک دنباله ی بازگشتی است که در آن اعداد اول و دوم برابر یک می‌باشند. هر عدد این دنباله از جمع کردن دو عدد قبلی به دست می‌آید.

چند عدد ابتدایی این دنباله عبارتند از. و 13و 8 و 5 و 3 و 2 و 1 و 1، چون:

. و13=5+8 و 8=3+5 و 5=2+3 و 3=1+2 و 2=1+1

اگر عدد n ام این دنباله را با f n نشان دهیم، آن گاه می‌توان دنباله را با فرمول بازگشتی زیر مشخص نمود:

f n =f n-1 +f n-2 , f 1 =1 , f 2 =1

اگر دقت کنید متوجه می‌شوید که f 1 دقیقاً برابر تعداد راه های ممکن برای بالا رفتن از یک پله، f 2 برابر راه های ممکن برای دو پله و به همین ترتیب f n تعداد مسیرهای ممکن برای رسیدن به بالای یک عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي پلکان n تایی است.

این دنباله خواص جالب دیگری نیز دارد، مثلاً:

f 2 n +f 2 n+1 =f 2n+1

f 2 n -f n+1 f n-1 =(-1) n-1

f 2 n -f n+2 f n-2 =(-1) n

f 2 n -f n+3 f n-3 =4(-1) n-1

با توجه به سه فرمول آخر، آیا می‌توانید فرمولی برای محاسبه f 2 n -f n+k . f n-k

ارائه کنید؟ می‌توانید فرمول خود را اثبات کنید؟

اگر تمایل دارید تا درباره ی اعداد فیبوناچی مطالب بیش تر ی بدانید، می‌توانید به سایت زیر مراجعه کنید:

.SendToNetwork < width: 70px; clear: right; height: 16px; border: 1px solid #8A9CC2; direction: rtl; text-align: right; padding: 5px; font-size: 8pt; background: #EAE7D6; float: left; margin: 5px 10px; >.SendToNetwork_text, .SendToNetwork_icon < float: right; >.SendToNetwork_text < width: 50px; margin-top: 2px; line-height: 1; >.عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي SendToNetwork_icon < width: 20px; >.SendToNetwork_icon img < cursor: pointer; >a img این مسأله را می‌توان با دنباله ی اعداد فیبوناچی نیز حل کرد. دنباله ی فیبوناچی یک دنباله ی بازگشتی است که در آن اعداد اول و دوم برابر یک می‌باشند. هر عدد این دنباله از جمع کردن دو عدد قبلی به دست می‌آید.

چند عدد ابتدایی این دنباله عبارتند از. و 13و 8 و 5 و 3 و 2 و 1 و 1، چون:

. و13=5+8 و 8=3+5 و 5=2+3 و 3=1+2 و 2=1+1

اگر عدد n ام این دنباله را با f n نشان دهیم، آن گاه می‌توان دنباله را با فرمول بازگشتی زیر مشخص نمود:

f n =f n-1 +f n-2 , f 1 =1 , f 2 =1

اگر دقت کنید متوجه می‌شوید که f 1 دقیقاً برابر تعداد راه های ممکن برای بالا رفتن از یک پله، f 2 برابر راه های ممکن برای دو پله و به همین ترتیب f n تعداد عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي مسیرهای ممکن برای رسیدن به بالای یک پلکان n تایی است.

آیا می‌توانید توضیح دهید که چرا تساوی بالا برقرار است؟

مسائل بسیاری را می‌توان با استفاده از دنباله ی اعداد فیبوناچی حل نمود. این دنباله در سال 1202 میلادی توسط یک ایتالیایی به نام " لئوناردو فیبوناچی " (Leonardo Fibonacci) ابداع شد. در واقع او در جستجوی راه حل یک مسأله بود. مسأله به این صورت است که :

" اگر هر جفت خرگوش در هر ماه یک جفت خرگوش جدید به دنیا بیاورند و خرگوش های جدید نیز پس از گذشت یک ماه، به دوران باروری برسند ( با فرض این که هیچ خرگوشی نمیرد )، تعداد خرگوش ها را در ماه n ام به دست آورید. "

بعدها، یوهان کپلر (Johannes Kepler) خاصیت جالب دیگری از این دنباله را کشف کرد. او نسبت دو جمله ی متوالی این دنباله را محاسبه نمود و متوجه شد که این نسبت به عدد نزدیک می‌شود. این نسبت، عددی شناخته شده بود که " عدد طلایی " نامیده می‌شد.

در مورد عدد طلایی و خواص آن تحقیق کنید .

اعداد فیبوناچی را در بسیاری از موارد طبیعی نیز می‌توانید مشاهده کنید. آرایش برگ‌ها و گل های بسیاری از گیاهان به صورت دو پیچه (spiral) است. معمولاً تعداد پیچه های ساعت گرد با تعداد پیچه های پادساعت گرد تفاوت دارد. این دو عدد در اغلب مواقع دو عدد متوالی از رشته ی فیبوناچی هستند. به شکل زیر توجه کنید:

این الگو را می‌توان در گل برگ‌ها یا دانه های بسیاری از گیاهان مثلاً آناناس، گل داوودی، عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي گل کلم، میوه های کاج و . مشاهده کرد. شاید دلیل آن این باشد که وقتی دانه‌ها ( یا گل برگ‌ها ) به این صورت قرار گیرند، بدون توجه به اندازه ی آن ها به طور یکنواخت و فشرده در کنار هم جای می‌گیرند؛ یعنی با این که عده ای از دانه‌ها کوچک تر از بقیه هستند، در هیچ ناحیه ای تراکم تغییر نمی کند و فضای خالی دیده نمی شود.

با استفاده از applet زیر می‌توانید پیچه های متعدد را مشاهده کنید.

این دنباله خواص جالب دیگری نیز دارد، مثلاً:

f 2 n +f 2 n+1 =f 2n+1

f 2 n -f n+1 f n-1 =(-1) n-1

f 2 n -f n+2 f n-2 =(-1) n

f 2 n -f n+3 f n-3 =4(-1) n-1

با توجه به سه فرمول آخر، آیا می‌توانید فرمولی برای محاسبه f 2 n -f n+k . f n-k

ارائه کنید؟ می‌توانید فرمول خود را اثبات کنید؟ عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي

آموزش مفاهیم ریاضیات

. ریاضی و زندگی.

باورکردني نيست اما در سال ۱۲۰۲ لئونارد فيبوناچي (Leonardo Fibonacci) توانست به يک سري از اعداد دست پيدا کند که بعدها بعنوان پايه براي بسياري از رابطه هاي فيزيک و رياضي استفاده شد، کافي است از عدد صفر و يک شروع کنيد. آنها را کنار هم بگذاريد و عدد بعدي را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آوريد، بسادگي به اين رشته از اعداد خواهيد رسيد :

البته برخي از رياضي دانان عدد صفر را جزو رشته فيبوناچي نمي دانند و يا حداقل آنرا جمله صفرم سري مي دانند . نکته اي که تعجب برانگيز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد اين سري را به عدد قبلي حساب کنيم خواهيم داشت :

۱/۱, ۲/۱, ۳/۲, ۵/۳, ۸/۵, ۱۳/۸, ۲۱/۱۳, ۳۴/۲۱, ۵۵/۳۴, ۸۹/۵۵, ۱۴۴/۸۹, …

۱, ۲, ۱.۵, ۱,۶۶۶, ۱.۶, ۱,۶۲۵, ۱.۶۱۵۳, ۱.۶۱۹۰, ۱.۶۱۷۶, ۱.۶۱۸۱, ۱.۶۱۷۹ و …

بله بنظر مي رسد که اين رشته به سمت همان عدد طلايي معروف ميل ميکند. بگونه اي که اگر نرخ عدد چهلم اين رشته را به عدد قبلي حساب کنيم به عدد ۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ مي رسيم که با تقريب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلايي را نشان مي دهد.

بعدها محاسبات و استدلال هاي رياضي نشان داد که اين سري همگرا به سمت نسبت طلايي مي باشد و جمله عمومي آنرا با بتقريب مي توان اينگونه نمايش داد :

fn = Phi n / ۵½
که در آن Phi عدد طلايي ميباشد. البته فرمول هاي دقيق ديگري وجود دارند که اعداد سري و يا اعداد بعدي (Successor) اين سري را نمايش مي دهند که دراين مطلب به آن نخواهيم پرداخت.

معماي زاد و ولد خرگوش!
در واقع فيبوناچي در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجيبي علاقمند شد. او مي خواست بداند اگر يک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاري براي زاد و ولد آنها تعريف کند در نهايت نتيجه چگونه خواهد شد. فرضيات اينگونه بود :

- شما يک جفت خرگوش نر و ماده داريد که همين الآن بدنيا آمده اند.
- خرگوشها پس از يک ماه بالغ مي شوند.
- دوران بارداري خرگوشها يک ماه است.
- هنگامي که خرگوش ماده به سن بلوغ مي رسد حتما” باردار مي شود.
- در هر بار بارداري خرگوش ماده يک خرگوش نر و يک ماده بدنيا مي آورد.
- خرگوش ها هرگز نمي ميرند.

حال سئوال اينجاست که پس از گذشت يکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهيم داشت؟ (پاسخ را شما بدهيد)

Fibonacci
مارپيچ فيبوناچي
مارپيچ فيبوناچي
به شکل اول نگاه کنيد و ببينيد که به چه زيبايي از کنار هم قرار دادن تعدادي مربع مي توان رشته فيبو ناچي را بصورت هندسي نمايش داد. حال اگر در هر يک از اين مربع ها از نقاط قرمز ربع دايره هايي رسم کنيم در نهايب به نوعي از مارپيچ حلزوني شکل مي رسيم که به مارپيچ فيبوناچي (Fibonacci Spiral) معروف مي باشد. بديهي است که نرخ رشد و باز شدن اين مارپيچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سري فيبوناچي مي باشد .

Math ریاضی

باورکردنی نیست اما در سال ۱۲۰۲ لئونارد فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند که بعدها بعنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید. آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، بسادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید :

البته برخی از ریاضی دانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :

۱/۱, ۲/۱, ۳/۲, ۵/۳, ۸/۵, ۱۳/۸, ۲۱/۱۳, ۳۴/۲۱, ۵۵/۳۴, ۸۹/۵۵, ۱۴۴/۸۹, …

۱, ۲, ۱.۵, ۱,۶۶۶, ۱.۶, ۱,۶۲۵, ۱.۶۱۵۳, ۱.۶۱۹۰, ۱.۶۱۷۶, ۱.۶۱۸۱, ۱.۶۱۷۹و …

بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلایی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :

fn = Phi n / ۵½
که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

معمای زاد و ولد خرگوش!
در واقع فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما” باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟

Fibonacci
مارپیچ فیبوناچی به شکل اول نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.

موزیک بر اساس اعداد فیبوناچی

در پست قبلی در مورد عدد طلایی ، دنباله فیبوناچی و مارپیچ فیبوناچی و مسائل مربوط به … است که باز هم هر دو عدد از اعداد دنباله فیبوناچی اند و دیگر نسبت ها که مشخص است . ….. این مارپیچ در مربع هایی بدست آمده که ابعادشان بر اساس دامنه فیبوناچی

به بهانه روز فیبوناچی؛ با این دنباله طلایی از اعداد … – دیجیاتو

موزیک بر اساس اعداد فیبوناچی. 02:17. دنباله فیبوناچی با همین ترتیب تا بی نهایت میل می کند اما هرچه در آن به سمت جلو می رویم حاصل تقسیم جمله n …

مقاله دنباله فیبوناچی درطراحی ادوات موسیقی و آهنگسازی

عدد طلایی مهم ترین نسبتی است که در طبیعت وجود دارد و البته در بیشتر مواقع به نام … شهیدزاده, عبدالرحمن و مرضیه سعید، ۱۳۹۶، دنباله فیبوناچی درطراحی ادوات … مقالات فوق بر اساس داده کاوی مقالات مطالعه شده توسط پژوهشگران محاسبه شده است.

این صدای نسبت طلایی است، زیباترین راز ریاضیات / فیلم …

رشته فیبوناچی یکی از جالب‌ترین رشته‌های اعداد است که در آن، عدد … که به ریاضیات علاقه دارد، قطعه‌ای موسیقی را بر اساس نسبت طلایی نوشته است.

این صدای نسبت طلایی است، زیباترین راز ریاضیات – …

رشته فیبوناچی یکی از جالب‌ترین رشته‌های اعداد است که در آن، عدد بعدی برابر … مایکل بلیک، موسیقیدانی که به ریاضیات علاقه دارد، قطعه‌ای موسیقی را بر اساس …

پیوند ریاضیات و موسیقی – آکادمی موسیقی آهنگ

در مدرسه عدد و محاسبات یادمان می دهندو همه گمان میکنند که ویژگی ریاضی همین است. … تمام این بررسیهای کسرها و تناسبهای همآهنگ، اساس موسیقی در دوره فیثاغورس بود. … موسیقی ریاضی : عددهای فیبوناچی و نسبت طلایی د رآهنگ سازی :مسایل مربوط به …

(TOOL) توول که بر اساس سری فیبوناچی ساخته شده – بالاترین

آهنگ Lateralus بر اساس سری فیبوناچی ساخته شده، این ویدئو بتون نشون میده که چطوری میتونین این اعداد و با این آهنگ بشمرین. … عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي گروه Tool (بیش از ۱۱ سال پیش); ۱۷ موزیک ویدئوی “پارابول” Parabola اثر گروه راک متال TOOL (بیش …

تولید اعداد فیبوناچی در بیسیک – پژوهشگاه علوم و فناوری …

در این قطعه، اعداد فیبوناچی تقریبا در تمامی ابعاد اثر موسیقی تعمیم یافته اند. … بررسی روابط میان اکسترمم‌های دمای روزانه، بر اساس سری اعداد فیبوناچی در تبریز …

فیبوناچی کیست؟ | خانه تدبیر و اندیشه

لئوناردو پیزانو بگولو فیبوناچی (Leonardo Pisano Bigollo … اگر بر اساس اعداد فیبوناچی، تعدادی مربع کنار هم رسم کنیم، شکلی به صورت زیر …

سحر و جادوی اعداد فیبوناچی – گروه مشاوران مالی سامان

درحالی‌که برخی از معامله گران به ابزارهای مبتنی بر فیبوناچی اطمینان کامل دارند و بر … دنباله‌ای که در آن هر عدد مجموع دو عدد پیشین است، همان اصل اساسی زندگی که اساس …

نسبت طلایی عدد فیبوناچی – blogfa

طول ضلع مربع ها و شعال دوایر تصویر فوق بر اساس اعداد فیبوناچی انتخاب شده و مرکز دایرهای تصویر هم بر روی یک مارپیچ قرار گرفته که به مارپیچ طلایی معروف است …

عجایب اعداد فیبوناچی – بیتوته

سری فیبوناچی نسبت طلایی خواص اعداد فیبوناچی,دنباله فیبوناچی اعداد فیبوناچی لئوناردو فیبوناچی,شگفتی های اعداد فیبوناچی,اعداد فیبوناچی در طبیعت …

نسبت طلایی – ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

نسبت طلایی یا عدد فی (ϕ) (به انگلیسی: Golden ratio) در ریاضیات و هنر … پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمان‌های بسیار دورتر می‌رسد.

آفتاب درخشان خاورمیانه • اعداد فیبوناچی چیست؟ | بلاگ

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي گفته می‌شود که بصورت …. تركیب مزبور یك تناسب ریاضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب …

به بهانه روز فیبوناچی؛ با این دنباله طلایی از اعداد بیشتر …

موزیک بر اساس اعداد فیبوناچی. 02:17. دنباله فیبوناچی با همین ترتیب تا بی نهایت میل می کند اما هرچه در آن به سمت جلو می رویم حاصل تقسیم جمله n …

دنباله فیبوناچی و عدد طلایی چیست ؟ – من فکر می کنم – blogfa

علاوه بر معروف شدن برای دنباله فیبوناچی، او برای گسترش اعداد هندی – عربی (مانند … تركیب مزبور یك تناسب ریاضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در …

شرکت کارگزاری رضوی • اعداد فیبوناچی چیست؟ | بلاگ

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت …. تركیب مزبور یك تناسب ریاضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب …

گیلان فارکس – اسرار فیبوناچی و نسبت طلایی – گیلان بورس

اعداد و سری فیبوناچی برای اولین بار در کتاب(Liber Abaci) معرفی شد که توسط ریاضی دان مشهور قرن 13 به نام لئوناردو فیبوناچی دا پیسا در سال 1202 به عنوان راه …

سری فیبونانچی و معمای زاد و ولد خرگوش – کانون

در سال 1202 لئونارد فيبوناچي (Leonardo Fibonacci) توانست به يک سري از اعداد دست پيدا کند که بعدها بعنوان پايه براي بسياري از رابطه هاي …

بررسی استفاده از دنباله اعداد فیبوناچی در شرط بندی و قمار …

بررسی استفاده از دنباله اعداد فیبوناچی در شرط بندی و قمار، مزایا و معایب عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي … اساس سیستم مبتنی یک رشته از اعداد می باشد که در آن هر عدد با میزان …

چگونه صدا تاثیر می گذارد شما: چنگال فیبوناچی تنظیم : Ask …

Lynda Arnold on Sep 29, 2013 in Music Theory & Education 0 comments … این مجموعه بر روی دنباله فیبوناچی است، یکی دیگر از سری مهم ریاضی در طبیعت یافت می شود. … شروع با 0 و 1، و سپس دو عدد آخرین اضافه به دریافت یک بعدی: 0 1 1 1 … دکتر جان BEAULIEU چنگال تنظیم بر اساس نسبت از دنباله فیبوناچی ایجاد شده است.

ریاضیات و جذابیت های آن

رشته فیبوناچی یکی از جالب‌ترین رشته‌های اعداد است که در آن، عدد بعدی برابر … مایکل بلیک، موسیقیدانی که به ریاضیات علاقه دارد، قطعه‌ای موسیقی را بر اساس نسبت … صورت نت‌های موسیقی بازنویسی کرده و حاصل آن‌ را به صورت یک موزیک ویدیویی …

اعداد فیبوناچی در C – برنامه نویسان

تعداد 2946با عبارت اعداد فیبوناچی در Cیافت شد. … تخصیص نقش ها به کاربران بر اساس احراز هویت در Asp.Net …… دانلود و بخش موزیک با آدرس url در اندروید.

سري اعداد فيبوناچي – جام جم

حال ما قصد داریم همین اعداد را با برنامه‌نویسی محاسبه کنیم. اولین سوال ما به‌دست آوردن یک عنصر مشخص از اعداد فیبوناچی است، مثلا عنصر xام از این …

10 شاهکار ریاضی در جهان هستی – جام جم

دانشمندان دریافته‌اند، در گل آفتابگردان رشد دانه‌ها از مرکز به سمت بیرون بر اساس الگوی دنباله اعداد فیبوناچی صورت می‌گیرد. طبق تحقیقات انجام …