تئوری فراکتال و کاربرد آن

آموزش فیزیک و نجوم

تئوری آشوب یا بی‌نظمی، تئوری می‌باشد که فکر و ذهن بشر را به خود واداشته‌است. این تئوری در همه جنبه‌های علمی وارد شده و باعث بحث دانشمندان گردیده‌است. این تئوری که در حیطه علوم مباحث تجربی، ریاضی، رفتاری، مدیریتی، و اجتماعی وارد شده‌است باعث تغییر در نوع دیدگاه بشر به حل مسائل غیر قابل پیش‌بینی شده‌است.انگاره اصلی و کلیدی تئوری آشوب این است که در هر بی‌نظمی، نظمی نهفته‌است به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد. پدیده‌ای که در مقیاس محلی، کاملاً تصادفی و غیر قابل پیش‌بینی به نظر می‌رسد چه بسا در مقیاس بزرگتر، کاملاً پایا و قابل پیش‌بینی باشد.

دانشمندان معتقد بودند معلول‌ها به صورت خطی بر آیند علل بدنه اصلی مقالات خاصی هستند اکنون آن‌ها به نقش خلاقانه بی‌نظمی و آشوب تاکید کرده و جهان را مجموعه‌ای از سیستم‌هایی می‌دانند که به شیوه‌های خود سازمانده عمل می‌کنند و تصادفی هستند این در شرایطی است این سیستم‌ها از نظم به بی‌نظمی و از بی‌نظمی به نظم ختم می‌شوند. این تئوری پارادوکس گونه نظریه بی‌نظمی است که به آن خواهیم پرداخت. چگونگی شکل گیری نظریه بی‌نظمی:

تغییرات آب و هوایی [ویرایش]

چندی از دانشمندان آب و هواشناسی در حال بررسی شرایط آب و هوایی در یک منطقه خاص که در آن جا آب و هوایی نسبتاً منظم و بی‌تغییر بود پرداختند. آن‌ها به مدت ۲ سال مشغول بررسی آب و هوای این منطقه بودند در سال اول پدیده‌ای مشاهده نگردید. اما در پاییز سال دوم ناگهان شرایط آب و هوایی که دستگاه اندازه‌گیری آب و هوا نشان می‌داد به هم ریخت اما آثار این به هم ریختگی در آب و هوا مشاهده نگردید. دانشمندان بر آن شدند که این بی‌نظمی ایجاد شده در آب و هوا و دستگاه اندازه‌گیری را به گونه توجیه کنند اما این امر میسر نشد. دانشمندان ۱ سال دیگر به این شرایط ادامه داده تا به موفقیت دست یافتند و آن این بود که در آن سال به علت هجوم پرندگان به دریاچه‌ای در آن نزدیکی و پر زدن آن‌ها در فراز این دریاچه فشاری به جو آمده که این فشار باعث آن گردیده‌است که دستگاه‌های اندازه‌گیری برخلاف آن چه دیده شده ثبت کنند. دانشمندان بر آن شدند که با استفاده از دستگاه‌هایی نبود پرندگان در فراز این دریاچه را شبیه‌سازی کرده و نتایج را بررسی کنند. آن‌ها پس از بررسی به این نتیجه رسیدند که اگر این پرندگان از آن سال به بعد به آن جا در بالای دریاچه هجوم نمی‌آوردند طوفانی بزرگ در آن منطقه شکل می‌گرفت و باعث تخریب ۱۲ هکتار از این منطقه می‌گردید. در حقیقت پر زدن آن پرندگان باعث می‌شد تئوری فراکتال و کاربرد آن که شرایط شکل‌گیری این طوفان پیش نیاید و در واقع مهم‌ترین اصل نظریه آشوب ایجاد گردید و آن عبارت بود از: پروانه‌ای در آفریقا بال می‌زند و باعث ایجاد گردبادی در آمریکای جنوبی می‌گردد. این اصل بیان می‌کند که کوچک‌ترین تغییر در این جهان باعث بی‌نظمی‌های بزرگی خواهد گردید. در سال ۱۹۶۵ لورنتس مشغول پژوهش روی مدل ریاضی بسیار ساده‌ای که از آب و هوای زمین بود، به یک معادله دیفرانسیل غیر قابل حل رسید وی برای حل این معادله به روش‌های عددی با رایانه متوسل گردید. او برای اینکه بتواند این کار را در روزهای متوالی انجام دهد. نتیجه خروجی هر شب را به عنوان ورودی روز بعد در نظر می‌گرفت. لورنتس در نهایت مشاهده کرد که نتیجه بررسی شده توسط رایانه او خروجی تا ۴ رقم اعشار دارد که این محال بود چون رایانه او اعداد را تا ۶ رقم اعشار نشان می‌داد. پس به بی‌نظمی ایجاد شده در رایانه و آب و هوا دست یافت. این واقعیت غیر ممکن بودن پیش‌بینی آب و هوا در درازمدت را نشان می‌داد.

==تولید مثل== دانشمندان این زمینه از علوم در بررسی برای انقضای قورباغه‌ها بودند آن‌ها تعدادی قورباغه را در فضای سربسته نگه داشت و منتظر نابودی آن‌ها بودند که ناگاه مشاهده کردند که این قورباغه‌ها که همگی نر بودند تولید مثل کرده و تعداد آن‌ها بیشتر شده‌است با تحقیقات انجام شده بر روی آن‌ها به این نتیجه رسیدند که قورباغه‌ها در ۶ ماه اول هویت خود را داشته و در ۶ ماه بعدی جنسیت خود را عوض کرده‌اند تا نسل آن‌ها همچنان باقی بماند. این آزمایشات منجر به ایجاد دومین اصل نظریه بی‌نظمی گردید: زندگی برای بقا راه خود را خواهد یافت.

مدل فرکتالی مندلبرت [ویرایش]

مندلبرت وقتی که بر روی تحقیی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می‌کرد به این نتیجه رسید که هرگاه در مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که در مقیاس کوچکتر باشد. این بی‌نظمی ایجاد شده باعث ایجاد شاخه ریاضی نظریه بی‌نظمی به نام فرکتال گردید. از لحاظ واژه مندلبرت انتخاب اصلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتین fractus یا fractura (به معنای شکسته) گرفت تا به ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه‌های اصلی این فرم است، تاکید داشته باشد. فرهنگستان لغت و زبان فارسی کلمه برخال را برای فرکتال تصویب کرده‌است. کلمه فرکتال به معنی سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. بی‌نظمی یا آشوب چیست؟ Chaos در لغت به معنای در هم ریختگی، آشفتگی، بی‌نظمی است و مترادف آن در مکانیک Turbulance یا تلاطم می‌باشد. این واژه به معنی فقدان هرگونه ساختار یا نظم است و معمولاً در محاورات روزمره آشوب و آشفتگی نشانه بی‌نظمی و سازمان نیافتگی، ناکارایی و در هم ریختگی به نظر آورده می‌گردد. و جنبه منفی در بر دارد. اما با پیرایش نگرش جدید و روشن شدن ابعاد علمی و نظری آن امروزه دیگر بی‌نظمی و آشوب به مفهوم سازمان نیافتگی و درهم ریختگی تلقی نمی‌گردد. بلکه بی‌نظمی وجود جنبه‌های غیر قابل پیش‌بینی و اتفاقی در پدیده‌های پویاست که ویژگی خاص خود را داراست. بی‌نظمی نوعی نظم غائی در بی‌نظمی است. هیلز در ۱۹۹۰ آشوب را اینگونه تعریف می‌کند: «بی‌نظمی و آشوب نوعی بی‌نظمی منظم یا نظم در بی‌نظمی است بی‌نظمی از این رو که نتایج آن غیر قابل پیش‌بینی است و منظم بدان جهت که از نوعی قطعیت برخوردار است». تعریف هیلز از بی‌نظمی مصداق کلمه لاتین آن است یعنی Orderly Disorder در نظم بی‌نظمی است و در بی‌نظمی نوعی نظم وجود دارد که همان تعریف هیلز است. همچنین آدامس (H.Adams) آشفتگی را اینگونه تعریف می‌کند: از آشفتگی زندگی زائیده می‌شود در حالیکه از نظم عادت به وجود می‌آید. بی‌نظمی در مفهوم علمی یک مفهوم ریاضی محسوب می‌شود که شاید نتوان خیلی دقیق آن را تعریف کرد اما می‌توان آن را نوعی اتفاقی بودن همراه با قطعیت دانست. قطعیت آن به خاطر آن است که بی‌نظمی دلایل درونی دارد و به علت اختلالات خارجی رخ نمی‌دهد، اتفاقی بودن آن به دلیل آن است که رفتار بی‌نظمی، بی‌قاعده و غیر قابل پیش‌بینی است.

ویژگی‌های تئوری آشوب (بی‌نظمی) [ویرایش]

۱. اثر پروانه‌ای (Butterfly Effect) ۲. سازگاری پویا (Dynamic Adaptation) ۳. جاذبه‌های غریب (Strange Attractors) ۴. خود مانایی (Self Similarity)

اثر پروانه‌ای [ویرایش]

همانطور که ذکر گردید با بال زدن یک پروانه در یک کشور آفریقایی ممکن است طوفانی در قاره آمریکا رخ دهد. که این اثر را اثر پروانه‌ای نام‌گذاری کردیم.

سازگاری پویا [ویرایش]

سیستم‌های بی‌نظم در ارتباط با محیطشان مانند موجودات زنده عمل می‌کنند و نوعی تطابق و سازگاری پویا بین خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند.

جاذبه‌های غریب [ویرایش]

این جاذبه‌ها نوعی بی‌نظمی در خود دارند که اگر با دقت به آن‌ها بنگریم و نوع دیدگاهمان را نسبت به آن‌ها عوض کنیم. به نظم عمیق آن‌ها پی خواهیم برد. به طور مثال تصاویر هندسی برگرفته شده از قوم اینکا در صحرای پرو حاکی آن است که اگر از نزدیک به آن‌ها بنگریم بی‌نظمی‌ها را نشان می‌دهند اما اگر از دور دست به آن‌ها بنگریم تصاویر معناداری را در ذهن متبادر می‌سازد. این نوع جاذبه‌ها حاوی مطالب مهمی هستند و آن اینست که در نظر اول نباید محیط پیرامون خود را آشوب ناک توصیف کنیم بلکه با تغییر دیدگاه خود می‌توان این آشوب را به یک نظم تبدیل کرد.

خود مانایی [ویرایش]

در تئوری آشوب؛ نوعی شباهت بین اجزا و کل قابل تشخیص است. بدین ترتیب که هر جزئی از الگو همانند و متشابه کل می‌باشد. خاصیت خود مانایی در رفتار اعضای سازمان نیز می‌تواند نوعی وحدت ایجاد کند؛ همه افراد به یکسو و یک جهت و هدف واحدی نظر دارند. این ویژگی ازنظریه بی‌نظمی؛ بیشتر در فرکتال‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد.

نظریه بی‌نظمی در شاخه‌های مختلف ۱. اقتصاد ۲. فیزیک ۳. ریاضی ۴. پرستاری ۵. مدیریت ۶. موسیقی و.

بررسی کوتاه نظریه بی‌نظمی در اقتصاد [ویرایش]

همانطور که گفته شد بعد از پیدایش این نظریه در جهان بشری این نظریه باعث گردید که نوع دیدگاه افراد به مسائل غیر قابل حل و غیر قابل پیش‌بینی عوض گردیده و منجر به ارائه شیوه‌های جدیدی برای مطالعه جریانات بسیار پیچیده که به ظاهر تصادفی و غیر قابل پیش‌بینی به نظر می‌رسد گردد. بیشترین کاربرد آن در اقتصاد پیش‌بینی متغیرهای پولی و مالی و بازارهای جهانی به ویژه بازار نفت و مدل‌های اقتصاد کلان جاری در کشورهای مختلف است. اینکه چگونه یک اقتصاد دان از این وضع آشوب‌ناک استفاده کرده و به سود سرشار دست بیابد بسیار مشکل است چون همانطور که گفته شد اساس این نظریه غیر قابل پیش‌بینی بودن آن است اما اگر نوع دیدگاه انسان به آن عوض شود شاید باعث پیش‌بینی درست از وضعیت سیستم آشوبناک گردد.

بررسی نظریه بی‌نظمی در پرستاری و موسیقی [ویرایش]

ممکن است شما به یک موسیقی گوش داده و از آن لذت فراوانی ببرید آیا می‌دانید تک تک نت‌های این موسیقی ممکن است از بی‌نظمی برخوردار باشند یعنی اگر به نت‌ها به دقت گوش دهید دیگر آن موسیقی آن چنان جذابیت نداشته باشد اما همین نت‌ها هنگامی که کنار هم قرار می‌گیرند موسیقی زیبایی را پایه‌گذاری می‌کنند. اما در مورد پرستاری! شاید برایتان این گفته خنده دار باشد اما باید حتی در مواظبت از بیماران روانی یا افرادی که مشکل روحی دارند باید روشی را در پیش گرفت که همانند ریاضیات به معادله غیر قابل حل روان آنها دست پیدا کرده و آن را حل کنیم تا این بیمار علاج یابد یعنی باید حرکات او را زیر نظر گرفته و با راه حلی آسان آشفتگی‌های او را به نظم تبدیل کرده تا بیمار ما شفا پیدا کند. اما در ریاضیات: همانطور که گفته شد نظریه بی‌نظمی مفهومی ریاضی دارد. حال بر آنیم تا خلاصه‌ای از بحث فرکتال که بی‌ربط با تئوری بی‌نظمی یا آشوب نیست در این جا بیاوریم. چگونگی ایجاد فرکتال‌ها را توضیح دادیم. حال اگر بخواهیم از دید کلی به آن‌ها بنگریم فرکتال‌ها به ۳ دسته تقسیم می‌گردند. ۱- هندسه فرکتالی ۲- فرم فرکتالی ۳- حجم فرکتالی فرکتال‌ها ویژگی‌ها نیز دارند: ۱- خودمانایی ۲- عدم بعد صحیح ۳- در مقیاس کوچک پیچیده‌اند ۴- تابع بازگشتی قبل از آن که ویژگی‌های فرکتال را توضیح دهیم برای یادآوری فرکتال را تعریف می‌کنیم. فرکتال شکل هندسی نامنظمی است که به قسمت‌های تقسیم می‌گردند که این اشکال همه شبیه به هم و همه نشانه‌ای از شکل اصلی هستند مثلا درخت کاج. در درخت کاج هر یک از شاخه‌های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد. یعنی هر شاخه درخت کاج در مقایسی کوچکتر نماینده درخت کاج بزرگتر می‌باشد. فرکتال‌ها ممکن است در طبیعت دیده شوند یا توسط کامپیوتر درست گردند و یا توسط انسان در نقاشی‌ها. فرکتال‌ها از قواعد تکرار یا همان توابع بازگشتی پیچیده درست می‌گردند.

مروری کوتاه بر خواص فرکتال [ویرایش]

عدم بعد صحیح: ابعاد کسری همانطور که می‌دانید، یک نقطه بعد ندارد. یک خط، تصویری یک بعدی است. یک صفحه، دو بعد دارد و در آخر تصویرهای حجیم، سه بعد دارند.اما فرکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند ! مثلاً ۶/۱ یا ۲/۲. اگر یک پاره خط را نصف کنیم چه پیش می‌آید؟ حالا دو خط داریم که درست مثل هم هستند.اگر هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چطور؟ حالا چهار مربع هم اندازه داریم. با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب به هشت مکعب کوچکتر می‌رسیم. چه الگویی وجود دارد ؟ به نظر می‌رسد که بعد، همان «توان» است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصله باید ۲ را به توان بعد آن تصویر برسانیم. اگر هر ضلع را نصف کنیم چند مثلث درست می‌شود؟ خودمانایی self similarity: گربه‌ها، قناری‌ها و کانگوروهابه هم شبیه هستند اگر به نحوی بتوانیم شباهتی بین آنها پیدا کنیم. اما در هندسه تشابه معنای خاصی دارد. تشابه، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانید با بزرگ یا کوچک کردن دو تصویر آنها را درست مثل هم کنید، آن دو متشابه‌اند. اما تصویرهای خود متشابه کدام‌ها هستند؟ اشکال زیادی وجود دارند تئوری فراکتال و کاربرد آن که فراکتالی نیستند اما خود متشابه‌اند. تشکیل از راه تکرار Iterative formation: مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک تصویر معمولی هندسی (مثلاً یک خط) را برداریم و با آن یک تصویر پیچیده تر بسازیم. بعد با آن تصویر به دست آمده تصویر پیچیده تری بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه‌های کامپیوتری متعددی بر ایجاد آن‌ها نوشته شده‌است.هر کدام از آنها هم اسم و رسمی برای خود دارند مثلاً مثلث سرپینسکی که قبلاً دیدید.

مثلث خیام [ویرایش]

یکی از بی‌نظمی‌های دیده شده مثلث خیام است. خیام در ریاضیات تبحر خاصی داشت. پس از به وجود آوردن این مثلث توسط خیام، خیام به بی‌نظمی‌هایی در آن پی برد اولین بی‌نظمی در تعداد اعداد خود این جدول بود که با سری، و و ایجاد می‌گردید یعنی سری به صورت زیر ۸ ۸ ۴ ۸ ۴ ۴ ۲ با حذف جملات زوج دیده می‌شود که این سری با همان جملات دیده می‌شود. ۱۶ ۸ ۸ ۴ ۸ ۴ ۴ ۲ همچنین با رنگ کردن اعداد فرد زوج مثلث خیام به مثلث‌هایی با مقیاس کوچکتر اما هم شکل با مثلث بزرگتر تبدیل می‌گردد.یعنی همان تعریف فرکتال. که این خود نوعی فرکتال می‌باشد از خواص دیگر این مثلث پیدا کردن اعداد فرد تا سطر n ام است که از بحث در مورد آن صرف نظر می‌کنیم.

نتیجه‌گیری و جمع‌بندی [ویرایش]

اصولا هر پدیده درجهان دارای نظمی است ممکن است در ان بی نظمی دیده شود.اما در هر بی نظمی نظمی نهفته وجود دارد که با تغییر دیدگاه ما این بی نظمی به نظمی عمیق تغییر می‌کند.

فراکتالها و کاربرد آنها در طراحی آنتن

با استفاده از پرداخت اینترنتی بسیار سریع و ساده می توانید اصل این مقاله را که دارای 9 صفحه است به صورت فایل PDF در اختیار داشته باشید.

مشخصات نویسندگان مقاله فراکتالها و کاربرد آنها در طراحی آنتن

چکیده مقاله :

در این بخش تئوری فراکتالها و هندسه و کاربرد آنها در طراحی آنتن بررسی خواهد شد. و سپس انواع هندسه های رایج فراکتال در طراحی آنتنها و المانهای فراکتال و کاربرد هر کدام از آنها در طراحی یک نوع آنتن باکاربرد ویژه معرفی و ارائه میشود. و سپس کاربرد فراکتالها در طراحی آنتنهای آرایه ای فازی برای کاهش کوپلینگ متقابل میان المانهای آرایه و همچنین بسته بندی کردن المانهای بیشتری به داخل آرایه برای افزایش بهره Scanning مطرح خواهد شد. و در انتها نیز با یک مثال ثابت خواهد شد که با به کار بردن المانهای فراکتالی در یک آرایه کوپلینگ متقابل بین المانها کاهش پیدا میکند.

کلیدواژه ها:

کد مقاله /لینک ثابت به این مقاله

کد یکتای اختصاصی (COI) این مقاله در پایگاه سیویلیکا ISCEE11_062 میباشد و برای لینک دهی به این مقاله می توانید از لینک زیر استفاده نمایید. این لینک همیشه ثابت است و به عنوان سند ثبت مقاله در مرجع سیویلیکا مورد استفاده قرار میگیرد:

نحوه استناد به مقاله :

در صورتی که می خواهید در اثر پژوهشی خود به این مقاله ارجاع دهید، به سادگی می توانید از عبارت زیر در بخش منابع و مراجع استفاده نمایید:

محمدی، امین،1387،فراکتالها و کاربرد آنها در طراحی آنتن،یازدهمین کنفرانس دانشجویی مهندسی برق ایران،زنجان،https://civilica.com/doc/48736

در داخل متن نیز هر جا که به عبارت و یا دستاوردی از این مقاله اشاره شود پس از ذکر مطلب، در داخل پارانتز، مشخصات زیر نوشته می شود.
برای بار اول: ( 1387، محمدی، امین؛ )
برای بار دوم به بعد: ( 1387، محمدی؛ )
برای آشنایی کامل با نحوه مرجع نویسی لطفا بخش راهنمای سیویلیکا (مرجع دهی) را ملاحظه نمایید.

مراجع و منابع این مقاله :

لیست زیر مراجع و منابع استفاده شده در این مقاله را نمایش می دهد. این مراجع به صورت کاملا ماشینی و بر اساس هوش مصنوعی استخراج شده اند و لذا ممکن است دارای اشکالاتی باشند که به مرور زمان دقت استخراج این محتوا افزایش می یابد. مراجعی که مقالات مربوط به آنها در سیویلیکا نمایه شده و پیدا شده اند، به خود مقاله لینک شده اند :

• John P. Gianvittorio and Yahya Rahmat- Samii, ، Fractal Antennas: .
• Benoit B. Mandelbort, _ Fractal Geometry of Nature', New York, .
• H. O. Peitgen, H. Jurgens and D. Saupe, _ and .
• D. H. Werner and Raj Mittra, «Frontiers in Electro magnetics .
• Douglas H. Werner and Suman Ganguly, ،An Overview of Fractal .
• D. H. Werner, R. L. Haupt and L. Werner, .
• Propagation Magazine, Vol. 41, No.5, PP. 37-59, Oct. 1999. .
• C. Puente Baliarda, Jordi Romeu and A. Cardama, _ Koch .
• N. Cohen and R. G. Hohfeld, "Fractal Loops and Snall .
• N. Cohen, 4Fractal Antenna: Part II', Commun. Quart., PP. 53-66, .
• P. E. Mayes, ،، Freq uen cy-In dependent Anetennas and .
• C. Puente and R. Pous, ، Fractal Design of Multiband .
• C. Puente, C. J. Romeu, R. Pous, J. Ramis and .
• John P. Gianvittorio, Yahya Rahmat-Sami and Jordi Romeu, ، Fractal .
• X. Yang, J. Chiochetti, D. Papadopoulos and L. Susman, ، .
• N. Cohen, ، Fractal Antenna Application in Wireless Telecommun ications .
• C. Puente-B aliarda, J. Romeu, R. Pous and A. Cardama, .
• M. Sindou, G. Ablart and C. Sourdois, ، #Multiband and .

مدیریت اطلاعات پژوهشی

اطلاعات استنادی این مقاله را به نرم افزارهای مدیریت اطلاعات علمی و استنادی ارسال نمایید و در تحقیقات خود از آن استفاده نمایید.

فراکتال و کاربرد آن در موسیقی (II)

مندلبرت، پدر هندسه ی فراکتالی، فراکتال را بدین صورت تعریف میکند: “یک شکل فراکتالی مجموعه ای از اشکال در هم پیچیده و مجزاست بطوریکه اگر یک قطعه از آن را بزرگ کنیم، شکل حاصل همانند شکل نخستین در خواهد آمد و همچنین با احتمالی اندک بدشکل و بیریخت خواهد شد”

اساس ساخت فراکتال همان چیزی است که در ریاضی به آن تکرار میگوییم. هر گاه روی یک معادله غیرخطی تکرارپذیری صورت گیرد میتوان به یک شکل فراکتالی رسید. الگوریتم این کار به این صورت خواهد بود:

۱- یک ورودی (x) را به تابع بدهید.

۲- جواب تابع را برحسب ورودی داده شده به آن حساب تئوری فراکتال و کاربرد آن کنید

۳- جواب بدست آمده از مرحله قبل (y1) را مجددآ به عنوان یک ورودی جدید درون همان تابع جایگزین کنید

۴- برای بدست آوردن مقادیر بعدی، مرحله سوم را به ازای اندیس های بعدی، تکرار کنید.

تا بدین جا توانستیم بصورت خیلی ساده برای فراکتالی که به روش تکرار روی تابع دلخواه (f) تولید میشود، مقادیر خروجی را بدست آوریم. حال اگر قرار باشد این فراکتال را روی صفحه نمایش در یک کامپیوتر داشته باشیم، باید بین خروجی های عددی و پیکسل های صفحه نمایش، یک تناظر (نگاشت) ایجاد نماییم. در نهایت بسته به دقتی که روی مقادیر ورودی داشته ایم، شکلی دقیقتر بدست خواهیم آورد؛ در واقع هرچه مقادیر داده شده به تابع در دقتهای کوچکتری باشند، شکل نهایی نیز دقتی بالاتر خواهد داشت.تئوری فراکتال و کاربرد آن

فراکتالها اشکال هندسی عجیبی هستند که قوانین هندسه اقلیدسی را در هم میشکنند و نمیتوان برای توصیف آنها از هندسه اقلیدسی کمک گرفت. در هندسه اقلیدسی اکثر اشکال مثل دوایر، مثلثها، مربع ها و دیگر چند ضلعی ها دارای محیط و مساحتی مشخص و قابل محاسبه هستند و چنانچه به آنها بنگرید، محیط آنها را یک خط یا منحنی میبینید؛ در صورتی که در فراکتال ها چنین نیست.

فراکتالها دارای محیط و مساحتی نامتناهی هستند. زیرا هر چه بیشتر روی محیط یک فراکتال دقت کنید، مقدار بیشتری برآمدگی و منحنی و ناهمواری ها و شکست ها و پیچش های مختلف را در آنها مشاهده میکنید که با وجود این ناهمواری ها و منحنی های بیشمار، محاسبه یک فاصله از دو نقطه روی فراکتال غیرممکن و امری محال است.

از آنجایی که اشکال فراکتالی نامتناهی هستند لذا ترسیم یک فراکتال بصورت کامل و با تمام جزئیات امکان پذیر نمیباشد. باید اضافه کرد که با وجود اینکه نمیتوان شکل دقیقی از یک فراکتال کشید ولی همه ما میتوانیم فراکتال را بصورت تقریبی رسم کنیم. تقریب استفاده شده در یک شکل فراکتالی به عمق فراکتال برمیگردد و در عمق بیشتر، تصویر فراکتالی تقریب زده شده به شکل واقعی نزدیکتر خواهد شد.

انواع اشکال فراکتالی را میتوان در دو دسته کلی جا داد:

• فراکتالهای خودتکرار کننده (self-repeating) که از فرمول های تکرارشونده ساده ای استفاده کرده و اشکالی ساده، مانند برف دانه کخ ( Koch snowflake) و مثلث سرپینسکی (Sierpinski triangle) خواهند داشت. از این گروه میتوان به فراکتالهای تئوری IFS و فراکتال های سیستمهای L
یا(L-systems) وGraftals و همانند اینها اشاره کرد.

• فراکتالهای خود متشابه (self-similar) که از نمای کلی شبیه به خود تکرار کننده ها هستند ولی در واقع اجزایی متفاوت از شکل کلی خود دارند؛ همانند مجموعه مندلبورت (Mandelbrot set)

موسیقی فراکتالی

با استفاده از فراکتالها به طرق مختلف میتوان به آهنگسازی و صدا سازی پرداخته و تئوری فراکتال و کاربرد آن یا حتی از آنها ایده هایی جدید برای یک اثر هنری گرفت. راز نهفته در یک موسیقی فراکتالی همان چیزی است که در ریاضیات به آن نگاشت (map) میگویند.

نگاشت به این معنی است که یک ارتباط مستقیم و متناظر بین خروجی های عددی ( که از معادله حاصل میشوند) و پارامترهای خاصی (که برای ساخت آهنگ بکار میروند)، ایجاد کنیم. همانطور که برای تصویر کردن یک عکس فراکتالی، خروجی های تابع را به پیکسل های صفحه نمایش نگاشت میکردیم، حال باید پارامترهای ساخت آهنگ را به آن خروجی ها نگاشت کنیم.

پارامترهای ساخت آهنگ فراکتالی میتوانند شامل فرکانسها، اوزان، دینامیک و دیگر موارد در آهنگسازی باشند. از آنجا که پارامترهایی که در یک موسیقی فراکتالی بکار میروند بیشتر از یک عکس فراکتالی هستند، میتوان انتظار آهنگهایی متنوع تر نسبت به یک عکس فراکتالی را از یک فرمول واحد داشت. در مقاله بعد بیشتر به این موضوع پرداخته و همچنین نرم افزارهای آهنگسازی با استفاده از فراکتال ها را معرفی خواهیم کرد.

Music From Fractal Noise – Michael Bulmer
Fractal Music,Hypercards and More… Mathematical Recreation from Scientific American Magazine – Martin Gardner

فراکتال‌ها، پنجره ریاضیات رو به هستی

هندسه فراکتالی با تلفیق هنر و ریاضیات، درک جدیدی از فرمول‌بندی عالم هستی را در برابر انسان قرار داده است .

بسیاری از مردم مسحور زیبایی خیره‌کننده تصاویری موسوم به فراکتال‌ها می‌شوند. فراکتال‌ها شاخه تلفیقی جدیدی از ریاضیات و هنر محسوب می‌شوند و شاید علت آن که فراکتال‌ها در نظر بیشتر افراد به چشم تصاویری زیبا مناسب پیشخوان رایانه‌ها یا طرح‌های بدیع و اصیل کارت پستالی دیده می‌شوند همین آمیختگی ریاضی و زیباشناختی آن است.
اکثر نظام‌های عینی طبیعت و بسیاری از مصنوعات بشری در چارچوب اشکال هندسی منتظم و یکدست هندسه اقلیدسی نمی‌گنجند. هندسه اقلیدسی با همه معیارهایش در برابر تعریف نظام‌های طبیعی و مصنوعی جهان حرفی برای گفتن ندارد، اما از آن طرف هندسه فراکتالی راه‌های تقریبا نامحدودی را برای توصیف، اندازه‌گیری و پیش‌بینی پدیده‌های طبیعی در آستین دارد. فراکتال‌ها در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل برف‌دانه‌ها، کوه‌ها، ابرها، ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ‌های آذرین، شبکه آبراه‌ها و رودخانه‌ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتری‌ها و سیستم عروق خونی، DNA و. دیده می‌شوند و با آنها می‌توان پدیده‌های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش‌بینی کرد. بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نظیر تراشه‌های سیلیکونی، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نیز از قوانین فراکتالی پیروی می‌کنند. این شکل‌های هندسی زیبا به واسطه سازگاری پویا و جاذبه غریبی که در ارتباط میان خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند از نوعی نظم دقیق در عین بی‌نظمی برخوردارند و پتانسیل شگفت‌آوری را برای عوض کردن دیدگاه و تفسیر ما از پدیده‌های عالم و نقش بنیادی ریاضیات برای توصیف و توضیح جهان در خود نهفته دارند. هندسه فراکتال، مرزهای درک و استنباط بشر از ریاضیات را که به عنوان کالبدی از فرمول‌های پیچیده و ملال‌آور در اذهان تعریف شده است، فراتر می‌برد و با تلفیق هنر و ریاضیات بوضوح نشان می‌دهد معادلات ریاضی چیزی بیشتر از مجموعه‌ای از اعداد هستند. شاید سودمندی مفاهیم ریاضی برای ایفای چنین نقش مهمی، موهبت خدادادی بی‌نظیری است که آنچنان که شایسته بوده درکش نکرده‌ایم. آیا با این اوصاف، تعریف کردن کل جهان با استفاده از معادلات ریاضی امکان‌پذیر است؟

● هندسه بعد چهارم یا هندسه طبیعت
بنوا مندل‌برو (۱۳۸۹‌‌ـ‌۱۳۰۳) پدر هندسه فراکتالی، مبدع واژه فراکتال و کاشف مجموعه مندل‌برو است که تقریبا مادر تمام فراکتال‌ها محسوب می‌شود. مندل‌برو در نوجوانی، آموزش و تعلیمات رسمی‌ منظمی‌کسب نکرد و به گفته خودش هیچ‌گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابی فرا بگیرد، اما در عین حال در برخی حوزه‌های زبان‌شناسی، نظریه بازی‌ها و احتمالات، دانش هوانوردی، مهندسی، علم اقتصاد، فیزیولوژی، جغرافیا، نجوم و صد البته فیزیک کارشناس و خبره بود. مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاریخ علم نیز بود و از همه مهم‌تر جزو نخستین ریاضیدانان جهان به لحاظ دسترسی به رایانه‌های پر سرعت محسوب می‌شود.
بنوا مندل‌برو کشفیات بزرگ خود را با سرپیچی و تمرد از قدرت حاکم زمانه یا همان ریاضیات آکادمیک صورت داد. در گذشته، علوم و ریاضیات بر محور نظام‌های محدودی در۳ بعد نخست یا همان خط، سطح و فضا دور می‌زدند که ظاهرا با جهان واقعی و مختصاتش که بعد چهارم گفته می‌شد میانه‌ای نداشتند. در حقیقت ما در بعد چهارم یا پیوستار فضا زمان زندگی می‌کنیم. گرچه از زمان اینشتین به بعد بود که فهمیدیم حتی بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلی برای واقعیت می‌تواند باشد، اما پس از مندل‌برو بود که تازه متوجه شدیم بعد چهارم واقعا چیست و چگونه به نظر می‌رسد و از چهره فراکتالی آشوب و بی‌نظمی‌ باخبر شدیم؛ کسی که چهره اصلی نظریه‌پردازی آشوب در زمانه ما محسوب می‌شود.
تحقیقات مندل‌برو نهایتا به دستاورد بزرگی منجر شد که در یک فرمول ساده ریاضی خلاصه می‌شود. این فرمول که امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل‌برو نامیده می‌شود و برخی آن را بزرگ‌ترین کشف ریاضیات قرن بیستم می‌دانند یک حساب دینامیک و پویا بر اساس تکرار اعداد مرکب با صفر به عنوان نقطه شروع است. فرمول مندل‌برو خلاصه‌ای از درک و بینش‌های بسیاری است که مندل‌برو از هندسه فراکتال طبیعت یا همان جهان واقعی بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل‌برو در تضاد آشکار با جهان آرمانی اشکال اقلیدسی بعدهای اول تا سوم است که دغدغه خاطر تقریبا تمامی ‌ریاضیدانان پیش از مندل‌برو بوده است.
در جایی که هندسه اقلیدسی پیرامون کمال مطلق تقریبا ناموجودی در طبیعت دور می‌زد و سعی داشت همه اشیا و مظاهر طبیعی را از دریچه تنگ نظم و ترتیب مجسم کند و قاعدتا از توصیف واقعی شکل یک ابر، کوه، خط ساحلی یا حتی یک درخت ناتوان بود. مندل‌برو در کتاب هندسه فراکتال طبیعت (۱۳۶۲) خود می‌گوید: «ابرها کروی نیستند، کوه‌ها مخروط نیستند، خطوط ساحلی مدور نیستند، پوست درخت صاف نیست و رعد و برق نیز خط سیر مستقیمی‌ ندارد.» پیش از مندل‌برو، ریاضیدانان بر این باور بودند که پیچیدگی، بی‌قاعدگی، بخش بخش شدگی و بی‌نظمی ‌اکثر الگوهای طبیعت فراتر از آن است که بتوانند به لحاظ ریاضیاتی توصیف و تبیین شوند. اما مندل‌برو، هندسه فراکتالی جدیدی از طبیعت را بر اساس بعد چهارم و اعداد مرکب درک و توسعه بخشید که قادر به توصیف ریاضیات بی‌نظم‌ترین اشکال جهان واقعی است. به گفته خودش هندسه فراکتالی صرفا فصلی از کتاب ریاضیات نیست، بلکه موهبتی از دانش ریاضیات است که امکان مشاهده متفاوت یک جهان را برای همگان فراهم می‌آورد.
مندل‌برو ثابت کرد بعد چهارم شامل ابعاد کسری می‌شود که بین ۳ بعد نخست قرار دارد و این مفهوم ابعاد بینابینی یا حد فاصل ابعاد را بعدهای فراکتالی نامید. وی واژه فراکتال را بر اساس صفت لاتین فرکتوس نامگذاری کرد که با فعل لاتین فرنجر به معنی شکستن و خرد کردن متناظر بود و مفهوم ایجاد بخش‌های نامنظم و نامرتب را تداعی می‌کرد. مندل‌برو به لحاظ ریاضیاتی و گرافیکی نشان داده است طبیعت برای ایجاد تئوری فراکتال و کاربرد آن اشکال مختلط و بی‌نظم و قاعده جهان واقعی چگونه از بعدهای فراکتال استفاده می‌کند. یک فراکتال به عنوان فرمی ‌هندسی دارای اشکال نامنظم است، اما در بطن این تصاویر بی‌قاعده و نامنظم، نظمی ‌پنهان وجود دارد. این نظم پنهان در بی‌نظمی‌ در اصل تکرار پشت سر هم نسخه‌های شبیه به هم از شکل کلی است که ظاهرا به چشم نمی‌آید، ولی زمانی که بخش کوچکی از یک شکل نامنظم کلی همانند کوه را از نزدیک مشاهده می‌کنیم، با نسخه تکرار شده مشابهی از شکل کلی کوه در مقیاس کوچک‌تر مواجه می‌شویم و هر چه نزدیک‌تر شویم باز هم همان شکل را در مقیاسی خردتر می‌بینیم و این تسلسل تا بی‌نهایت می‌تواند ادامه داشته باشد. می‌توان در هر جایی از طبیعت یا در واقع دنیای زیگزاگ طبیعت فراکتال‌ها و خود تشابهی را با هر مقیاسی سراغ گرفت. این واقعیت زیبا در هر برف دانه، هر خدنگ رعد وبرق، هر درخت، هر شاخه و حتی در دستگاه گردش خون با رگ‌هایش و خلاصه از صدف دریا گرفته تا کهکشان‌های مارپیچ به چشم می‌خورند.

● فرش قرمز دانش برای هندسه فراکتالی
امروز به لطف مندل‌برو و نظریه معاصر بی‌نظمی، ما به درکی ریاضیاتی از برخی فعالیت‌های تاکنون مخفی و رازآلود طبیعت نائل شده‌ایم. ما برای نخستین بار فهمیده‌ایم که چرا ۲ درخت نزدیک به یکدیگر در جنگل که در یک زمان و از یک خاک و از یک خانواده با ژن‌های یکسان در حال رشد و نمو هستند، هر کدام به شکلی منحصر به فرد از کار درخواهند آمد. درست همانند هر برف دانه‌ای که از یک ابر و در یک زمان و تحت شرایط یکسانی تشکیل شده و فرود می‌آیند، ولی باز هم هر کدام از آنها بی‌مانند و یگانه هستند و با بقیه برف دانه‌ها فرق دارند. چنین حالتی تنها به واسطه خصلت بی‌نهایتی که در بعدها و تأثیر متقابل تصادف و احتمال یا همان بی‌نظمی‌غیر قابل پیش‌بینی وجود دارد، امکان‌پذیر می‌شود. هندسه فراکتالی بر بسیاری از حوزه‌های علوم مانند اخترفیزیک و علوم‌زیستی سایه افکنده و به یکی از مهم‌ترین تکنیک‌های دانش گرافیک رایانه بدل شده است.

● فراکتال‌ها در اختر فیزیک
هیچ‌کس واقعا نمی‌داند چند ستاره در آسمان شب چشمک می‌زند، ولی نحوه شکل‌گیری و قرارگیری آنها در عالم همواره مایه حیرت و شگفتی بوده است. اختر فیزیکدانان بر این باورند که ماهیت فراکتالی گاز میان ستاره‌ای کلید راهنمای این مسأله باشد. فراکتال پخش و انتشار گازها به صورت سلسله مراتبی است که نظیر آن در خزیدن‌های دود در هوا یا موج خوردن ابرها در آسمان دیده می‌شود. اشکال آشفتگی ابرها در آسمان و در فضا الگویی نامنظم، اما تکرار شونده به آنها می‌بخشد که توصیفش بدون کمک گرفتن از هندسه فراکتالی غیرممکن خواهد بود.

● فراکتال‌ها در علوم زیستی
مدلسازی طبیعت با استفاده از بازنمایی‌های هندسه اقلیدسی که ضربان خون را به صورت موج سینوسی، درختان سوزنی برگ را به صورت مخروط و غشای سلولی را به صورت منحنی و سطوح صاف و ساده به نمایش می‌گذاشت، تغییر خواهد کرد. نمونه‌های بارزی از اشکال فراکتالی را می‌توان در بدن انسان یافت. شناخته شده‌ترین مثال فراکتال بدن مجموعه رگ‌ها و شریان‌های دستگاه گردش خون پستانداران و انسان است. ساختار نایژه‌ای شش‌های انسان از جمله فراکتال‌های زیبا و مثال‌زدنی زنده محسوب می‌شود که ویژگی خودمتشابهی و ایجاد نسخه‌های مکرر خردتر از نمونه کل را تا بیش از ۱۵ انشعاب مسلسل و پی در پی به نمایش می‌گذارند. کشفیات تازه در حوزه تحقیقات مغز به وجود یک ساختار فراکتالی مبتنی بر ۶ ضلعی‌ها اشاره دارد که ممکن است در نحوه سازماندهی میدان‌های گیرندگی بصری بخش قشری مغز نقش داشته باشد. دانشمندان کشف کرده‌اند معماری پایه یک کروموزم ساختاری درختی دارد و هر کروموزم شامل میکروکروموزم‌های بسیاری می‌شود که می‌توان با تئوری فراکتال آن را توضیح داد. از طرفی ویژگی خودمتشابهی ذاتی فراکتال‌ها در توالی‌های DNA نیز مشخص شده است. به عقیده برخی زیست‌شناسان، از شناسایی خصوصیات فراکتالی دی . ان .ای می‌توان برای حل روابط تکاملی جانوران استفاده کرد. دانش زیست‌شناسی ممکن است در آینده برای ارائه مدل‌های جامعی از الگوها و فرآیندهای مشاهده شده در طبیعت از هندسه فراکتال استفاده کند.

● فراکتال‌ها در گرافیک رایانه‌ای
وسیع‌ترین دامنه کاربرد فراکتال‌ها در زندگی روزمره در علوم رایانه است. بسیاری از طرح‌های فشرده‌سازی تصویری از الگوریتم‌های فراکتال استفاده می‌کنند. هنرمندان گرافیک رایانه‌ای برای خلق مناظر بافت‌دار و دیگر مدل‌های پیچیده و پر طول و تفصیل از فرم‌های فراکتال زیادی استفاده می‌کنند. ایجاد انواع تصاویر واقع نمایانه از سکانس‌های طبیعت نظیر تصاویری از ماه، رشته کوه‌ها و خطوط ساحلی که در بسیاری از جلوه‌های ویژه سینمایی دیده می‌شوند به لطف همین الگوریتم‌های فراکتالی امکان پذیر هستند.

● و اما حرف آخر
دانشمندان دریافته‌اند هندسه فراکتال ابزار قدرتمندی برای رازگشایی از طیف گسترده‌ای از نظام‌ها و حل‌کردن مشکلات مهم علوم کاربردی است. نظام‌های فراکتالی عینی و ملموس جهان فهرست بلند بالایی دارند که به​سرعت در حال رشد است. فراکتال‌ها دقت ما در توصیف و طبقه‌بندی کردن اشیای تصادفی یا ارگانیک را بهبود بخشیده‌اند، اما ممکن است کامل و بی‌عیب نباشند. شاید فراکتال‌ها فقط به جهان ما نزدیک‌ترند و یکی عین آن نیستند. برخی دانشمندان هنوز بر این باورند که بی‌نظمی وجود دارد و هیچ معادله ریاضی آن را به طور کامل و بی‌نقص توصیف نخواهد کرد. شاید هم از نظر بسیاری، فراکتال‌ها چیز بیشتری از تصاویر زیبا عرضه نخواهند کرد، اما فراکتال‌ها و هندسه فراکتالی هر چه باشد منظره متفاوتی از واقعیت جهانی را که در آن زندگی می‌کنیم به نمایش گذاشته است.

معرفی و دانلود PDF کتاب اسرار فراکتال

برای دانلود قانونی کتاب اسرار فراکتال و دسترسی به هزاران کتاب و کتاب صوتی دیگر، اپلیکیشن کتابراه را رایگان نصب کنید.

برای دانلود قانونی کتاب اسرار فراکتال و دسترسی به هزاران کتاب و کتاب صوتی دیگر، اپلیکیشن کتابراه را رایگان نصب کنید.

دانلود کتاب از اپلیکیشن کتابراه

معرفی کتاب اسرار فراکتال

میلاد اسکندردوست در کتاب اسرار فراکتال، به صورت کاربردی و با قلمی روان به تحلیل و بررسی هندسه‌ی عجیب و پیچیده‌ی فراکتالی می‌پردازد.

فراکتال‌ها (Fractal)، هندسه‌ای عجیب و ناآشنایی هستند و با هر چیزی که تا به الان خوانده‌اید و دیده‌اید، تفاوت دارند. فراکتال و یا برخال شاخه‌ی جدیدی از ریاضیات و هنر است. بیشتر مردم از فراکتال‌ها به عنوان تصاویر زیبایی برای پس زمینه صفحه نمایش رایانه و یا کارت پستال یاد می‌کنند اما فراکتال‌ها واقعا چه هستند؟

هندسه فراکتالی بسیار فراتر از تفکرات عادی مردم درباره ریاضیات می‌باشد که از آن به عنوان فرمول‌های پیچیده و خسته کننده یاد می‌کنند. این هندسه آمیخته‌ای از ریاضیات با هنر است و نشان می‌دهد که معادله‌ها تنها یک مجموعه عدد هستند نه چیزی بالاتر! چیزی که فراکتال‌ها را جذاب‌تر می‌نماید، این است که بهترین توصیفات را برای بسیاری از پدیده‌های طبیعی، مانند کوه‌ها، سواحل، موجودات زنده و. دارند.

بنوئیت مندلبروت ریاضیدان بزرگ لهستان - فرانسه - آمریکایی بود. بنوئیت مندلبروت در تفکر این بود که علم جدیدی را برای توصیف ناهمواری، بی‌نظمی و چیزهایی که واقعاً غیر اقلیدسی هستند، خلق کند.

کشف هندسه فراکتال توسط مندلبروت راهی کاملا جدید برای مطالعه و توصیف دنیای طبیعی می‌باشد. این دانش مدرن راهی را نیز برای علوم جدید باز کرده است. فراکتال‌ها از لحاظ زیبایی لذت‌بخش هستند، اغلب زیبایی خیره کننده را در ظریف‌ترین شیوه‌ها نشان می‌دهند. کشف مندلبروت یکی از زیباترین دستاوردهای نوع بشر است.

اکنون می‌بینیم که فراکتال‌ها در همه جا وجود دارد و می‌توانیم جهان را از طریق چشم‌های فراکتال مشاهده کنیم. کتاب اسرار فراکتال (fractal secrets) با محوریت کشفیات بنوئیت مندلبروت می‌باشد البته بسیاری از ریاضیدانان در نظریه فراکتال سهیم می‌باشند اما این بنوئیت بود که بیشترین کشف، تأثیر و پژوهش عمیق را در مورد جهان فراکتالی به انجام رسانید. او همچنین کاشف مشهورترین و اعجاب‌انگیز‌ترین فراکتال یعنی مجموعۀ مندلیروت است که تقریبا بنیان و اساس تمام فراکتال‌ها محسوب می‌شود.

بنوئیت مندلبروت را بیشتر بشناسیم:

بنوئیت مندلبروت (Benoit Mandelbrot) در ورشو لهستان متولد شد. او علاقه به علم هندسه را خیلی زود از خود بروز داد. بنوئیت در سال 1958 به آمریکا رفت و در مرکز تحقیقات توماس ج. واتسون در آ بی ام (IBM) مشغول به کار شد و به مدت 35 سال در آنجا باقی ماند.

در بخشی از کتاب اسرار فراکتال می‌خوانیم:

فراکتال‌ها بی‌نهایت پیچیده هستند. آن‌ها جزئیات بیشتر و بیشتری را بدون محدودیت در مناطق و مقیاس‌های کوچک و کوچک‌تر نشان می‌دهند. موجودات فراکتالی (برخالی) بسیار بسیار شگفت‌انگیز می‌باشند. هر جزء برخال شبیه به کل است. از بین بردن یک فراکتال امکان‌پذیر نیست چرا که از بین بردنش بدون نابود کردن تمام آن امکان‌پذیر نیست، زیرا مانند موجودات زایای جهان واقعی، بی‌وقفه از اعماق‌اش، موجوداتی به عنوان مثال در منحنی برف دانه کخ، مثلت‌هایش - سر بر می‌آورد. این ماهیت اسرارآمیز فراکتال‌ها است. اگر بخشی از آن باقی بماند، آن بخش اساس برخال را حفظ می‌کند و به نوبه خود می‌تواند خود را از نو ایجاد کند؛ وقتی که به تصویر یک برخال نگاه می‌کنید، آن را در یک لحظه از زمان می‌بینید؛ برخال در مرحله معینی از رشد سرسام‌آور خود ثبت شده است.

برخال‌ها موجوداتی به غایت هیولاگونه و دیوانه‌واری می‌باشند؛ بعضی از آن‌ها توابع پیوسته‌ای هستند که مشتق‌پذیر نیستند، تعدادی از آن‌ها مساحت محدود و محیط نامحدود دارند و بعضی دیگر می‌توانند فضا را کاملا پر کنند. در نتیجه برخال‌ها آن چنان دور از درک بشریت هستند که ریاضیدانان قرن 19 آن را نپذیرفتند زیرا از قواعد ریاضی آنان پیروی نمی‌کرد. می‌توانید به یک فراکتال زوم کنید و الگوها و شکل‌ها برای همیشه تکرار خواهد شد و این بسیار بسیار حیرت‌انگیز است فراکتال‌های ریاضی، بی‌نهایت پیچیده هستند. الگو و قاعده خلق یک فراکتال تا ابد به طور بی‌نهایت پیچیده‌ای ادامه می‌یاید و همیشه ساختارها در هر مقیاسی ظاهر می‌شوند.

فهرست مطالب کتاب

فصل 1: تاریخچه فراکتال و ریاضیدانان تأثیرگذار
فصل 2: بنوئیت مندلبروت
فصل 3: تعریف فراکتال
فصل 4: انواع فراکتال
فصل 5: فراکتال‌های هندسی
فصل 6: فراکتال‌های جبری
فصل 7: فراکتال‌های تصادفی
فصل 8: فراکتال‌های سه بعدی
فصل 9: فراکتال‌های طبیعی: فراکتال و طبیعت
فصل 10: فراکتال‌های مصنوعی و مهندسی
فصل 11: فراکتال و کامپیوتر